Задачи на максимальное/минимальное значение

Если в задаче B14 требуется найти максимальное или минимальное значение функции f (x) на отрезке [a; b]

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−5; 0]:

y = x3 + 3x2 − 9x − 7

Решение

Для начала найдем производную:

y′ = (x3 + 3x2 − 9x − 7)′ = 3x2 + 6x − 9

Затем приравняем ее к нулю:

y′ = 0;

3x2 + 6x − 9 = 0;

...

x1 = −3; x2 = 1.

Вычеркиваем корень x = 1, поскольку он не принадлежит отрезку [−5; 0]. Осталось вычислить значение функции на концах отрезка и в точке x = −3. Имеем:

y(−5) = (−5)3 + 4 · (−5)2 − 9 · (−5) − 7 = −12;

y(−3) = (−3)3 + 4 · (−3)2 − 9 · (−3) − 7 = 20;

y(0) = 03 + 4 · 02 − 9 · 0 − 7 = −7.

Очевидно, что наибольшее значение равно 20 — оно достигается в точке x = −3.

Ответ

20

Задача

Найдите точку максимума функции на отрезке [−10; −1]:

Решение

Найдем производную:

Поскольку это дробно-рациональная функция, приравниваем к нулю числитель:

y′ = 0;

x2 − 25 = 0;

...

x1 = 5; x2 = −5.

Получили два корня. Теперь приравниваем к нулю знаменатель:

x2 = 0;

x = 0.

Получили x = 0 — корень второй кратности. При переходе через него знак производной не меняется. Осталось отметить точки x = −5; x = 0; x = 5 на координатной прямой, а затем расставить знаки и границы. Имеем:

Очевидно, что внутри отрезка останется лишь одна точка x = −5, в которой знак производной меняется с плюса на минус. Это и есть точка максимума.

Ответ

−5

Еще раз поясню, чем отличаются точка экстремума от самого экстремума. Точка экстремума — это значение переменной, при которой

функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Экстремум — это значение самой функции, максимальное или минимальное в некоторой окрестности.